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非齐次线性常微分方程

一阶线性非齐次微分方程 y'+p(x)y=q(x),通解为 y=e^[-∫p(x)dx]{∫q(x)e^[∫p(x)dx]dx+C}用的方法是先解齐次方程,再用参数变易法求解非齐次.《高等数学》教科书上都有的.

先求对应的齐次方程的通解,特征方程为r+2r-3=0,(r+3)(r-1)=0,r=-3或r=1 故Y=C1 e^(-3x)+C2 e^x 因为0不是特征根,故设原方程的特解为y*=ax+b 则y*'=a,y*=0 代入原方程得0+2a-3(ax+b)=4x 即-3ax+2a-3b=4x 对应系数相等,即-3a=4,2a-3b=0 得a=-4/3,b=-8/9 故y*=-4x/3 -8/9 故原方程的通解为y=Y+y* 即y=C1 e^(-3x)+C2 e^x -4x/3 -8/9

∵齐次方程y"-6y'+9y=0的特征方程是r^2-6r+9=0,则r=3(二重实根) ∴此齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^(3x) (C1,C2是常数) ∵设原方程的解为y=(Ax^3+Bx^2)e^(3x) 代入原方程,得(6Ax+2B)e^(3x)=(x+1)e^(3x)

先用特征根法求对应的齐次线性方程的通解,再设特解,用待定系数法求出一个特解,处理一下,即可求出非齐次线性微分方程的通解.

这类微分方程有固定解法 ay''+by'+cy=f(x)1、先解对应的齐次方程ay''+by'+cy=0的通解y1 解法:根据特征方程at^2+bt+c=0的解t1,t2的是单根重根和虚根来组解,具体的你查书吧,我手头没书,得到y1=y1(t1,t2)2、求得一组特解y* 根据f(x)的形式设计试探特解,求出试探特解的系数,得到y*3、ay''+by'+cy=f(x)的通解:y=y1+y*

先求y''+y=0的通解,其特征方程为 r+r=0,得r=±i 故通解为y=C1 cosx+C2 sinx 因为i是特征根,故设y''+y==2cosx的特解为 y*=x(a cosx+b sinx) 则y*'=a cosx+b sinx+x(-a sinx+b cosx)=(a+bx)cosx+(b-ax)sinx y*''=bcosx-(a+bx)sinx-asinx+(b-ax)cosx=(2b-ax)cosx-(2a+bx)sinx 代入原方程得2b cosx-2a sinx=2cosx 得a=0,b=1 故y*=x sinx 故原方程的通解为y=C1 cosx+C2 sinx +xsinx

分为齐次解和特解y''-3y'+2y = 0特征方程:t^2 - 3t + 2 = 0==> t = 1 or 2==> y = c1'e^x + c2'e^(2x)Y=x(ax+b)e^-xY'=[-ax^2+(2a-b)x+b]e^-x Y''=[ax^2-(4a-b)x+2a-2b]e^-x 带入方程,得:[ax^2-(

∵y1(x)-y2(x)是对应齐次线性微分方程y'+P(x)y=0的非零解∴它的通解是Y=C[y1(x)-y2(x)]∴原方程的通解为y=y1((x)+Y=y1((x)+C[y1((x)-y2(x)]故选:B.

特解设为y=ax就可以了齐次特征方程r^2-1=0r=±1所以通解是y=C1e^x+C2e^(-x)

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