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sinx的4次方的积分

原式=sinx*sinx=sinx*(1-cosx)=sinx-sinxcosx =0.5*(1-cos2x)-0.25sin(2x)=0.5*(1-cos2x)-0.25*0.5(1-cos4x) =0.375-0.5cos2x+0.25cos4x 后面的就不用说了吧

∫(sinx)^4dx=∫(sinx)^2*(sinx)^2dx=∫((1/2)*(1-cos2x))*((1/2)*(1-cos2x))dx=∫(1/4)*(1+(cos2x)^2-2cos2x)dx=(1/4)x+(1/4)∫(cos2x)^2dx-(1/4)sin2x=(1/4)x+(1/8)∫(cos4x+1)dx-(1/4)sin2x=(3/8)x+(1/32)sin4x-(1/4)sin2x+c

(1)先求 S(sin2x)^2dx=x/2-(1/4)sina2xcos2x S(sin2x)^2dx=-(1/2)Ssin2xdcos2x =-(1/2){ sin2xcos2x-2Scos2xcos2xdx} =-(1/2){sin2xcos2x-2S(1-(sinx)^2)dx} =-(1/2)sin2xcos2x+S(1-(sinx)^2)dx =-(1/2)sin2xcos2x+x-S((sinx)^2)dx S(sin2x)^2dx=-(1/4)

原式=(1/4)∫(1-cos2x)^2dx=(1/4)∫[1-2cos2x+(cos2x)^2]dx=x/4-(1/4)sin2x+(1/8)∫(1+cos4x)dx=x/4-(1/4)sin2x+x/8+(1/32)sin4x+C=3x/8-(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+c.

(sinx)^4 = (sinx^2)^2 = ((1 - cos2x)/2)^2 = (1 - 2cos2x + (cos2x)^2)/4= 0.25 - 0.5cos2x + 0.125(1 + cos4x)= (cos4x)/8 - (cos2x)/2 + 3/8∫ (sinx)^4dx = ∫ ((cos4x)/8 - (cos2x)/2 + 3/8)dx= ∫ ((cos4x)/8)dx - ∫ ((cos2x)/2)dx + ∫ (3/8)dx= (1/32)∫ cos4xd4x - (1/4)∫ cos2xd2x + (3x/8)= (sin4x)/32 - (sin2x)/4 + (3x/8) + C

3x/8-1/4sin2x+1/32sin4x sinx^4=sinx^2-cosx^2sinx^2=sinx^2-1/4sin2x^2 用二倍角公式把它们化为关于cos2x和cos4x的积分

华氏公式,不过是0到二分之派区间上,号称点火公式,注意奇偶次之分

∫ (sinx)^4 dx=(1/4) ∫ (1-cos2x)^2 dx=(1/4) ∫ [ 1-2cos2x+(cos2x)^2 ] dx=(1/8) ∫ ( 3-4cos2x+ cos4x ) dx=(1/8) ( 3x-2sin2x+(1/4)sin4x ) + C

降幂cos2x=1-2(sinx)^2

∫(sinx)^4dx=∫[(1/2)(1-cos2x]^2dx=(1/4)∫[1-2cos2x+(cos2x)^2]dx=(1/4)∫[1-2cos2x+(1/2)(1+cos4x)]dx=(3/8)∫dx-(1/2)∫cos2xdx+(1/8)∫cos4xdx=(3/8)∫dx-(1/4)∫cos2xd2x+(1/32)∫cos4xd4x=(3/8)x-(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C 一个函数,可以存在不定积分

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